Nombres : Nombres réels

Les nombres réels

• Le système des nombres réels est composé de nombres rationnels et irrationnels.
• Chaque nombre réel possède deux attributs : la grandeur et le signe.

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Les nombres rationnels

• Les nombres naturels, les nombres entiers, certains nombres décimaux ainsi que les fractions et les nombres fractionnaires sont des sous-ensembles des nombres rationnels.
• ​Nombre qui peut être exprimé sous la forme \(\frac{a}{b}\), où a et b sont des entiers, et b​ ≠ 0 (par exemple : 4, 0, \(\frac{2}{3}\), \(\frac{-9}{5}\)).
• Nombre qui peut être exprimé sous la forme décimale qui comporte une suite finie de chiffres à la droite de la virgule décimale ou une suite infinie et périodique de chiffres (par exemple : \(1,\overline{625}; 0,5; 4,75\)).

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Les nombres irrationnels

Nombre qui ne peut être exprimé comme quotient d’entiers. Sous la forme décimale, ce nombre est toujours une suite infinie et non périodique de chiffres à la droite de la virgule décimale (par exemple : \(3,13159…; \sqrt{2}; 4,515 515 551…; \pi \)).

Dans ce dernier il y a 2 sous-ensembles : les nombres rationnels représentés par le symbole « Q » et les nombres irrationnels représentés par le symbole « Q » prime. Des exemples de nombres rationnels sont : « 33 millièmes ; négatif 2 et 5 dixième ; 7 sur 9 ». Dans le sous-ensemble des nombres rationnels, il y a un plus petit ensemble qui s’appelle nombres entiers représentés par le symbole « Z ». Des exemples de nombres entiers sont « moins 3 ; moins 2 ; moins 1 ; zéro ; un ; 2 ; 3, et cetera ». Puis dans cet ensemble il y en a un autre ensemble qui s’appelle les nombres naturels, représentés par le symbole « N ». Des exemples de nombres naturels sont : « zéro ; un ; 2 ; 3, et cetera ». Il n’y a pas de sous-ensemble pour les nombres irrationnels. Des exemples de nombres irrationnels sont « Pi ; racine carrée de 5 ; négatif un virgule 4 5 0 9 7 3 2 5 continuant; racine carrée de 2 ».

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Densité, infini et limite

• La densité peut être vue comme la probabilité de choisir un nombre dans un sous-ensemble donné. Ce concept peut être utilisé pour comparer la densité de deux sous-ensembles. Par exemple, l’ensemble des nombres carrés entre 0 et 100 est moins dense que l’ensemble des nombres impairs entre 0 et 100, puisqu’il y a plus de nombres dans le 2^e ensemble.
• L’infini est un concept qui sert à caractériser des ensembles et certains nombres décimaux. Par exemple, l’ensemble des nombres entiers est infini, les nombres décimaux irrationnels ont une infinité de chiffres après la virgule décimale.
• La limite d’une suite ou d’une fonction peut être déterminée en observant son comportement à long terme. Par exemple, si on observe la suite 9, 3, 1, \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{9}\), …, on peut en déduire que la limite sera 0.

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Représentations numériques

Les​ nombres peuvent être représentés numériquement de différentes manières.

En voici quelques exemples :

​Les nombres entiers et les fractions décimales positives et négatives peuvent être exprimés sous la forme décimale dont le développement est fini.

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Opérations

• Les actions dans une situation influencent le choix de l’opération. La même opération peut décrire des situations différentes :
  • Des situations qui impliquent des changements (ajout ou retrait), des réunions ou des comparaisons peuvent être représentées par l’addition ou la soustraction.
  • Des situations qui impliquent des groupes égaux (groupement d’additions ou de soustractions répétées, partage), des taux, des comparaisons de rapports ou des dispositions rectangulaires peuvent être représentées ​au moyen d’une multiplication ou d’une division.
• Les nombres peuvent être décomposés en parties. Un nombre peut être composé en combinant des parties. La décomposition et la composition de nombres peuvent être utilisées comme stratégie ​pour opérer sur des nombres. Par exemple : \(-3\frac{1}{4}+5\frac{3}{8}\) peut être décomposé en \(-3+\left(-\frac{1}{8}\right)+\left(-\frac{1}{8}\right)+5+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\) afin d’utiliser la commutativité et les opposés pour simplifier les opérations \(-3+5+\left[\left(-\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{8}\right)\right]+\left[\left(-\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{8}\right)\right]+\frac{1}{8}\) et obtenir \(2\frac{1}{8}\).
• Factoriser un nombre, c’est l’exprimer sous la forme d’un produit de nombres ou facteurs plus petits. Par exemple, 10 peut être factorisé par \(5 \ \times 2\) où 5 et 2 sont des facteurs de 10.
• Les éléments neutres et absorbants ainsi que les propriétés des opérations telles que la commutativité, l’associativité et la distributivité peuvent être appliqués à tout type de nombre.
  • Élément absorbant : \(a \times 0 = 0, \, 0\,(x\, – a) = 0\).
  • ​É​lément neutre : \(a + 0 = a, \, a - 0 = a, \, a \times 1 = a, \, a \div 1 = a\).
  • Associativité : \((a + b) + c = a + (b + c), \, (a \times b) \times c = a \times (b \times c)\).
  • C​ommutativité : \(a + b = b + a, \, a \times b = b \times a\).
  • Distributivité : \(a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)\).
• L’ordre des priorités des opérations doit être respecté lorsqu’une expression numérique comporte plusieurs opérations. Il s’agit d’une convention ou d’une règle utilisée pour simplifier des expressions numériques.
• Un nombre rationnel peut être utilisé pour estimer un nombre irrationnel.

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Les nombres réels

Le tableau suivant résume les types de nombres avec lesquels les élèves travaillent pour chaque année d’études.